презентация Формула бинома Ньютона

Тема урока: Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Подготовил: учитель математики Зароченцева Ольга Степановна

Цель урока:

Познакомить учеников с треугольником Паскаля, показать связь треугольника с биномиальными коэффициентами. Рассмотреть некоторые свойства треугольника Паскаля.

Задачи урока:

Выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля, определить применение свойств чисел треугольника Паскаля.

Бином Ньютона – формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных

•  

где – биномиальные коэффициенты, n – неотрицательное целое число

Бином Ньютона – формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных.

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрел Блез Паскаль, описавший ее в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна еще китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Треугольник Паскаля

Для упрощения поиска биномиальных коэффициентов используется треугольник Паскаля. При этом, треугольник позволяет не только находить данные коэффициенты, но и содержит в себе множество других интересных свойств.

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним.

При этом если вы хотите выбрать k объектов из n данных, то количество возможных вариантов выбора равно k-му числу в n-й строке треугольника.

При работе с треугольником строки и столбцы нумеруют с нуля. Объясняется это тем, что есть ровно один способ выбрать нуль объектов (не взяв ни одного из них) и ровно один способ выбрать все объекты, что соответствует единицам на концах каждой строки.

Свойства треугольника

Если сложить числа в n-й строке треугольника, получится 2 в степени n.

Если же сложить числа, стоящие по диагоналям треугольника (как показано на слайде), то получится последовательность числе Фибоначчи.

•  

Указанные ранее открытия были сделаны достаточно давно. Из относительно недавних открытий можно выделить открытие, сделанное в 2012 году.

Обозначим через P(n) произведение чисел в n-й строке треугольника. Числа, которые получаются таким способом, не имеют каких-то необычных свойств. После этого математики решили посмотреть, что произойдет, если разделить эти произведения для вышестоящих и нижестоящих строк на произведение в рассматриваемой сроке в квадрате.. То есть для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель – произведению всех числе в данной строке в квадрате.

Удивительно то, что когда n становится больше и больше, это отношение становится ближе и ближе к числу e (e – десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное 2,71828).

Треугольник Серпинского

Существует еще одно интересное свойство в треугольнике.

Если покрасить каждое число в треугольнике в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, для четных возьмем белый цвет, а для нечетных – синий. Применив это правило для первых 500 строк, получим изображение, приведенное на слайде. Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского.

Мы закрашивали числа в зависимости от их четности, то есть если оно при делении на 2 дает остаток 0 или 1. Если же делить не на 2, а на 8, то получим 8 вариантов остатков – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Покрасив снова каждое число в зависимости от его остатка от деления на 8, получим изображение, приведенное на слайде.

Задачи

• Постойте треугольник Паскаля до 10 строки
• Сколькими способами можно выбрать 2 учеников из 8?
• Используйте построенный треугольник Паскаля, чтобы найти первые десять чисел Фибоначчи.
• С помощью треугольника Паскаля вычислите максимально приближенно число e.

Задачи для решения

Список литературы

• Абачиев С.К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля
• Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов

Опубликовано 05.10.2019 – 13:29 –

Презентация по алгебре для 10 класса  “Бином Ньютона”

Скачать:

Вложение	Размер
Презентация по алгебре для 10 класса “Бином Ньютона”	584.87 КБ
binom_nyutona.pptx	584.87 КБ

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Бином Ньютона

Слайд 2

НЬЮТОН – английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. 1643-1727 г.г . Исаак Ньютон

Слайд 3

В теории многочленов часто двучлены называют биномами . =1 =1 =1 +2 +1 = 1 + 3 b+3 +1 = = = 1 + 4 b +6 +4 +1 = = = 1 + 5 b + 10 + 10 +5 +1

Слайд 4

Биномиальная формула Ньютона. – биномиальные коэффициенты

Слайд 5

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью треугольника Паскаля

Слайд 6

ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину . 1623-1662 г.г . Блез Паскаль

Слайд 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Слайд 9

Записать разложение бинома:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Бином Ньютона

Слайд 2

НЬЮТОН – английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. 1643-1727 г.г . Исаак Ньютон

Слайд 3

В теории многочленов часто двучлены называют биномами . =1 =1 =1 +2 +1 = 1 + 3 b+3 +1 = = = 1 + 4 b +6 +4 +1 = = = 1 + 5 b + 10 + 10 +5 +1

Слайд 4

Биномиальная формула Ньютона. – биномиальные коэффициенты

Слайд 5

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью треугольника Паскаля

Слайд 6

ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину . 1623-1662 г.г . Блез Паскаль

Слайд 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Слайд 9

Записать разложение бинома:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация по алгебре 7 класс

Презентация по алгебре для  7 класса по теме “Разложение многочленов на множители”…

Презентация по алгебре 7 класс

Презентация по алгебре по теме “Одночлен. Стандартный вид одночлена” 7 класс…

Усный счет. Презентации по алгебре 7 класс

Презентации для закрепления нового материала по темам алгебры  7 класса по УМК А.Мордкович…

Презентация по алгебре 11 класс “Первообразная. Интеграл”

Определение первообразной и интеграла, свойства, геометрический  и физический смысл, вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла….

Презентация по алгебре 7 класс по теме: “Системы линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: урок обобщения.Цели: 1.  Повторить алгоритм решения систем уравнений графическим методом, методом подстановки и сложения, рассмотреть применение систем как модели реальных ситуаций.2. …

Презентация по алгебре 9 класс к уроку “квадратичная функция”

Презентация разработа для 4 урока в теме “Квадратичная функция”….

Конспект урока по алгебре в 7 классе “Бином Ньютона. Треугольник Паскаля”

Дидактическая цель урока: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации средствами технологии проблемного обучения и с использованием элементов личностно-ориентированн…

• Мне нравится

 

Презентация “Формула бинома Ньютона” предназначена для использования на уроках математики в 10 классе(профиль) при изучении соответствующей темы. В презентации представлено изложение материала по данной теме, а также приведены примеры использования формулы бинома Ньютона с решениями.

Раздел: Презентации по математике для 10 классаСкачивая материал, я соглашаюсь с условиями публичной оферты. Скачать презентациюДругие полезные презентации: Для вывода других вариантов — обновите страницу.Размер файлов: 1.04 MBДата публикации:06.11.2015Внести правки в свой материал

Выходные данные (библиографическая ссылка):

Белякова О. В. Формула бинома Ньютона // Международный каталог для учителей, учеников и преподавателей «Презентации» // URL: https://edupres.ru/prezentatsii-po-matematike/10-klass/file/11695-formula-binoma-nyutona (дата обращения: 23.03.2021)Рекомендуем

Не нашли нужной презентации?

Посмотрите другие презентации по математикена нашем сайте СМИ «Учебные презентации».

Опубликовано 07.01.2013 – 18:58 –

Презентация к уроку математики в 11 классе.

Скачать:

Вложение	Размер
binom_nyutona_11_klass.pptx	243.41 КБ

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Бином Ньютона 11 класс МКОУ « Усть-Мосихинская СОШ» Новосёлова Е.А.

Слайд 2

НЬЮТОН – английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. 1643-1727 г.г . Исаак Ньютон

Слайд 3

В теории многочленов часто двучлены называют биномами . =1 =1 =1 +2 +1 = 1 + 3 b+3 +1 = = = 1 + 4 b +6 +4 +1 = = = 1 + 5 b + 10 + 10 +5 +1

Слайд 4

Биномиальная формула Ньютона. – биномиальные коэффициенты

Слайд 5

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью треугольника Паскаля

Слайд 6

ПАСКАЛЬ -французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину . 1623-1662 г.г . Блез Паскаль

Слайд 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Слайд 8

Число слагаемых на 1 больше степени бинома. Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля. Коэффициенты симметричны. Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются. Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома. Свойства бинома Ньютона

Слайд 9

Записать разложение бинома:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку 9 класс” Первая помощ при ожогах,обморожениях”.

Презентация составлена с учетом психофизических особенностей учащихся коррекционной школы VIII вида….

презентация к уроку, 8 класс

презентация по теме “Работа и внутренняя энергия”, программа А.А.Пинского, 8 класс…

Презентация к уроку (6 класс) по теме “Урок Мужества “Площадь Памяти”

Данное мероприятие четко связано с другими, направленными на формирование у учащихся чувства патриотизма, и соответствует возрастным особенностям детей. Занятие логически делится на две части: теорети…

Урок и презентация к уроку в7 классе “Слагаемые успеха насекомых”

Материал может использоваться для уроков по теме отряды насекомых по ОС “Школа 2100″…

Презентация к уроку 10 класса (базового) по химии 10 класс Тема”Каменный уголь. Фенол”

Презентация к уроку химии 10 (базовый) по теме “Каменный уголь.Фенол”  Дается строение фенола, его свойства….

Презентация к уроку “Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона”

Презентация к уроку математики по теме “Формулы сокращенного умножения. Бином Ньютона” для 7 класса. Треугольник Паскаля помогает учащимся лучше запомнить материал….

Открытый урок русского языка обучающихся с ограниченными возможностями (ОВЗ)+ презентация к уроку 6 класс

Открытый урок с детьми ОВЗ….

• Мне нравится

  Используемые источники:

• https://videouroki.net/razrabotki/priezientatsiia-binom-n-iutona.html
• https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2019/10/05/prezentatsiya-po-algebre-dlya-10-klassa-binom-nyutona
• https://edupres.ru/prezentatsii-po-matematike/10-klass/file/11695-formula-binoma-nyutona
• https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/01/07/prezentatsiya-k-uroku-v-11-klasse-po-teme-binom-nyutona